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因此 $H$ 再次包含一个 3-循环。最后，如果 $H$ 包含一个 5-循环 $(a, b, c, d, e)$，令 $\sigma=(a, b)(c, d) \in A_{5}$。那么
因此 $(a, b, c, d, e) \cdot(b, a, d, c, e) \in H$。但是 $(a, b, c, d, e) \cdot(b, a, d, c, e)=(a, e, c) \in H$，所以 $H$ 再次包含一个 3-循环。所以在所有情况下 $H$ 都包含一个 3-循环，因此 $H=A_{5}$。
我们现在完成 $A_{n}$ 单纯性的证明。该证明通过对 $n$ 进行归纳，从 $n=5$ 的情况开始，这是前一个引理的陈述。归纳假设 $n \geq 6$，并且我们已经证明 $A_{n-1}$ 是单纯的，且 $H \triangleleft A_{n}$ 且 $H \neq\{1\}$。回想我们有子群 $H_{n} \leq S_{n}$ 定义为
那么 $H_{n} \cong S_{n-1}$ 且 $H_{n} \cap A_{n} \cong A_{n-1}$，因此也是单纯的。如果我们能证明 $H \cap\left(H_{n} \cap\right. \left.A_{n}\right) \neq\{1\}$，那么 $H \cap\left(H_{n} \cap A_{n}\right)$ 是 $H_{n} \cap A_{n}$ 的一个非 $\{1\}$ 的正规子群，因此它就是 $H_{n} \cap A_{n}$。特别地，$H$ 必须包含一个 3-循环，因此 $H=A_{n}$。
由于 $H \subseteq A_{n}, H \cap\left(H_{n} \cap A_{n}\right)=H \cap H_{n}$，因此只需证明该子群不为 $\{1\}$，即存在 $\sigma \in H$ 使得 $\sigma \neq 1$ 且 $\sigma(n)=n$。由于假设 $H \neq\{1\}$，存在 $\sigma \in H$ 使得 $\sigma \neq 1$。如果 $\sigma(n)=n$，我们证明完毕：$\sigma \in H \cap H_{n}$。否则 $\sigma(n)=i$ 且 $i \neq n$。
首先假设 $\sigma(i)=j$ 且 $j \neq n$ (注意 $\sigma(i) \neq i$ 因为 $\sigma(n)=i$)。因此当我们把 $\sigma$ 写成不相交循环的乘积时，其中一个循环形如 $(n, i, j, \ldots)$。选择某个 $k \neq n, i, j$。元素 $(j, k)$ 是奇置换，但由于 $n \geq 6$，存在 $a, b \in\{1,2, \ldots, n\}$ 且 $a, b$ 是不等于 $n, i, j, k$ 的不同元素，并且 $\rho=(j, k)(a, b)$ 是偶置换。那么 $\rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1} \in H$ 因为 $H$ 是正规子群，因此 $\tau=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1} \in H$ 因为 $H$ 在取逆元和乘积下是封闭的。现在根据构造 $\rho(n)=n$，因此
因此 $\tau \in H \cap H_{n}$。最后，我们声称 $\tau \neq 1$。为了看到这一点，注意
我们不能有 $\sigma^{-1}(k)=i$，否则 $\sigma(i)=k$，但也有 $\sigma(i)=j \neq k$，这是不可能的。因此 $\tau(i) \neq i$，所以 $\tau \neq 1$。
剩下的一种情况是 $\sigma(n)=i$ 且 $i \neq n$，以及 $\sigma(i)=n$。这种情况在精神上与前一种情况相似。由于 $\sigma$ 是偶置换，$\sigma \neq(n, i)$，因此存在 $j \neq n, i$ 使得 $\sigma(j)=k \neq n, i$。(可以想象将 $\sigma$ 写成长度至少为二的不相交循环的乘积：其中一个形如 $(n, i)$，并且必须有另一个以 $(j, k, \ldots)$ 开头。) 再次利用 $n \geq 6$，存在 $\ell, m$ 是不同的且不等于 $n, i, j, k$ 中的任何一个。令 $\rho=(j, \ell, m)$。那么 $\rho \in A_{n}$ 因为 $\rho$ 是一个 3-循环，并且，令 $\tau=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}$，$\tau \in H$ 如前所述。但是
第一个方程表明 $\tau \in H \cap H_{n}$，第二个方程表明 $\tau(\ell)=j \neq \ell$，因此 $\tau \neq 1$。因此在这两种情况下 $H \cap H_{n} \neq\{1\}$，我们证明完毕。
练习 4.1. (i) 设 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 定义为 $f(r)=r / 2=\left(\frac{1}{2}\right) r$。$f$ 是一个同态吗？为什么是或不是？$f$ 是内射的吗？是满射的吗？
(ii) 设 $g: \mathbb{Q}^{*} \rightarrow \mathbb{Q}^{*}$ 定义为 $g(r)=r / 2=\left(\frac{1}{2}\right) r$。$g$ 是一个同态吗？为什么是或不是？$g$ 是内射的吗？是满射的吗？
练习 4.2. 解释为什么以下函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 不是同态：(i) $f(x)=|x|$；(ii) $f(x)=1 / x$ 如果 $x \neq 0$，且 $f(0)=0$；(iii) $f(x)=[x]$，其中 $[x] \in \mathbb{Z}$ 是小于或等于 $x$ 的最大整数。如果我们将 $\mathbb{R}$ (在定义域和值域中) 替换为 $\mathbb{R}^{*}$，在 (i) 和 (ii) 中会发生什么？
练习 4.3. 设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。证明对于所有 $g \in G_{1}$ 和 $n \in \mathbb{Z}$，$f\left(g^{n}\right)=(f(g))^{n}$。$f(g)$ 的阶是否必然等于 $f$ 的阶？如果不是，你通常能说什么？
练习 4.4. 设 $f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 和 $f_{2}: G_{2} \rightarrow G_{3}$ 是同态。证明 $f_{2} \circ f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{3}$ 是一个同态。
练习 4.5. (i) 设 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $k \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Z}$，$f(a)=k a$。$f$ 何时是内射的？满射的？$f$ 的像通常是什么？
(ii) 设 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $r \in \mathbb{Q}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Q}$，$f(a)=r a$。(给定 $f$，令 $r=f(1)$。首先证明对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$f(n)=r n$，然后证明对于所有整数对 $p, q$ 且 $q>0$，$f(p / q)=r(p / q)$。) 反之，给定 $r \in \mathbb{Q}$，函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$。$f$ 何时是内射的？满射的？
(iii) 给定 $r \in \mathbb{R}$，证明函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。$f$ 何时是内射的？满射的？(然而，在这种情况下，可以证明从 $\mathbb{R}$ 到自身的同态还有很多，但它们不能被明确地描述。)
练习 4.6. 设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 是由 $f(\theta)=e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 定义的函数。证明 $f$ 是一个同态并描述其核和像。
练习 4.7. 设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态 (其中 $G$ 中的群运算写成乘法)。设 $g_{1}=f(1,0)$ 且 $g_{2}=f(0,1)$。证明 $g_{1} g_{2}=g_{2} g_{1}$，即 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 交换，并且对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，
反之，假设 $G$ 是一个群，并且 $g_{1}, g_{2} \in G$ 是两个可交换的元素。证明由 $f(n, m)=g_{1}^{n} g_{2}^{m}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态。因此上述描述了所有从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到任意群 $G$ 的同态。
练习 4.8. 证明如果 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态，那么存在唯一的整数 $a, b \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，$f(n, m)=a n+b m$。反之，证明给定 $a, b \in \mathbb{Z}$，函数 $f(n, m)=a n+b m$ 是从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的一个同态。(使用练习 4.7。) 你如何从对 $f$ 的了解中恢复 $a$ 和 $b$？证明 $f$ 是满射当且仅当 $a$ 和 $b$ 互质。通过找到 $\operatorname{Ker} f$ 中的非零元素来证明 $f$ 永远不是内射的。
练习 4.9. 设 $G$ 是一个群，并定义函数 $F: G \rightarrow S_{G}$ 为 $F(g)=r_{g}$，其中 $r_{g}: G \rightarrow G$ 是双射
$F$ 是一个同态吗？为什么是或不是？解释你如何修改 $F$ 以获得一个涉及右乘法的同态 $G \rightarrow S_{G}$。
练习 4.10. 设 $n \in \mathbb{N}$ 且 $a \in \mathbb{Z}$，并设 $d=\operatorname{gcd}(a, n)$。考虑由 $f(k)=a k$ 定义的同态 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。我们知道 $\operatorname{Im} f$ 和 $\operatorname{Ker} f$ 是 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的循环子群。使用之前的结果证明 $\operatorname{Im} f=\langle d\rangle$ 且 $\operatorname{Ker} f=\langle n / d\rangle$。
练习 4.11. 考虑 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 的子集 $G$ 定义为
(1) 对于 $f(x)=a x+b$，通过考虑 $f(0)$ 和 $f(1)$，证明 $a$ 和 $b$ 由函数 $f$ 确定。我们也把 $a x+b$ 写成函数 $f(x)=a x+b$。
(2) 通过找到 $f \circ g$ 的公式来证明 $G$ 在函数复合下是封闭的，其中 $f(x)=a x+b$ 且 $g(x)=c x+d$。证明 $\text{Id} \in G$，并且如果 $f \in G$，那么逆函数 $f^{-1}$ 存在且 $f^{-1} \in G$。得出结论 $G \leq S_{\mathbb{R}}$，即从 $\mathbb{R}$ 到自身的双射群 (以函数复合为运算)。
(3) 使用 (a) 中的计算，证明由 $F_{1}(a x+b)=a$ 定义的函数 $F_{1}: G \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 是一个同态。$\operatorname{Ker} F_{1}$ 和 $\operatorname{Im} F_{1}$ 是什么？再次使用 (a) 中的计算，证明由 $F_{2}(a x+b)=b$ 定义的函数 $F_{2}: G \rightarrow \mathbb{R}$ 不是一个同态。
练习 4.12. 考虑练习 2.29 中定义的 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 的子群 $\mathbf{B}$ 为
(1) 定义函数 $F_{1}: \mathbf{B} \rightarrow \mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R}^{*}$ 为：$F_{1}\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & d\end{array}\right)\right)=(a, d)$。证明 $F_{1}$ 是一个同态。$F_{1}$ 的核是什么？$F_{1}$ 的像是什么？
(2) 定义函数 $F_{2}: \mathbf{B} \rightarrow \mathbb{R}$ 为：$F_{2}\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & d\end{array}\right)\right)=b$。证明 $F_{2}$ 不是一个同态。
练习 4.13. (i) 设 $f_{1}: G \rightarrow G^{\prime}$ 和 $f_{2}: G \rightarrow G^{\prime}$ 是两个同态。证明由
定义的 $G$ 的子集 $H$ 是 $G$ 的一个子群。
(ii) 设 $f_{1}: G \rightarrow G^{\prime}$ 和 $f_{2}: G \rightarrow G^{\prime}$ 是 (i) 中的两个同态。假设 $G$ 由元素 $g_{1}, \ldots, g_{r} \in G$ 生成，并且对于每个 $i$ 且 $1 \leq i \leq r$，有 $f_{1}\left(g_{i}\right)=f_{2}\left(g_{i}\right)$。证明 $f_{1}=f_{2}$。
练习 4.14. (i) 求 $5^{143}$ 除以 29 的余数。
(ii) 证明对于每个整数 $a$ 使得 $\operatorname{gcd}(a, 100)=1$，$a^{20} \equiv 1(\bmod 100)$，并用它计算 $(17)^{122}$ 的最后两位数字。(提示：首先证明 $(\mathbb{Z} / 100 \mathbb{Z})^{*}$ 的每个元素的阶都整除 20。注意 $\phi(100)=40$，所以这改进了欧拉的推广。)
练习 4.15. 设 $G$ 是一个群 (不一定是有限的)，设 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是 $G$ 的两个有限子群，并假设 $\#\left(H_{1}\right)=n_{1}$ 和 $\#\left(H_{2}\right)=n_{2}$ 且 $\operatorname{gcd}\left(n_{1}, n_{2}\right)=1$。证明 $H_{1} \cap H_{2}= \{1\}$。
练习 4.16. 设 $G$ 是一个阶为 $p^{n}$ 的群，其中 $p$ 是素数且 $n \geq 1$。证明 $G$ 包含一个阶为 $p$ 的元素。(首先证明 $G$ 的每个元素的阶都是 $p^{k}$ 对于某个 $k \leq n$。)
练习 4.17. 设 $G$ 是一个群，设 $H$ 是 $G$ 的一个子群，不一定是正规的。证明 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{2} \bmod H \Longleftrightarrow g_{1}^{-1} \equiv_{r} g_{2}^{-1} \bmod H$。得出结论函数 $f: G / H \rightarrow H \backslash G$ 由 $f(g H)=H g^{-1}$ 给出是良定义的，即不依赖于 $g H$ 的代表元的选择。通过找到一个逆函数来证明 $f$ 定义了从 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的双射。(注意：然而，由 $F(g H)=H g$ 给出的“函数” $F: G / H \rightarrow H \backslash G$ 当且仅当 $H$ 是正规的才良定义。)
练习 4.18. 设 $G$ 是一个阶为 $n$ 的有限群，使得对于每个整除 $n$ 的 $d$，至多存在一个阶为 $d$ 的 $G$ 的子群。证明 $G$ 是循环群。(提示：定义函数 $\psi(d)$ 如定理 2.2.10 的证明中所示，并证明对于所有 $d \mid n$，$\psi(d) \leq \phi(d)$。)
练习 4.19. 计算矩阵乘积
用此证明 $O_{2}$ 和 $S O_{2}$ 不是 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 的正规子群。
练习 4.20. 考虑 $A_{4}$ 的以下子群 (之前考虑过)：
(i) 证明 $H$ 是 $A_{4}$ 和 $S_{4}$ 的正规子群。(注意：你不需要重新证明 $H$ 是一个子群，这已经在练习 3.20 中完成。如果 $\sigma \in S_{4}$ 或 $A_{4}$，使用：$\sigma(a, b)(c, d) \sigma^{-1}= \sigma(a, b) \sigma^{-1} \sigma(c, d) \sigma^{-1}$。)
(ii) 证明 $A_{4} / H$ 的阶为 3，$S_{4} / H$ 的阶为 6。(事实上，根据例 3.2.7，$S_{4} / H \cong S_{3}$。)
(iii) 证明 $K=\{1,(1,2)(3,4)\}$ 是 $H$ 的正规子群但不是 $A_{4}$ 的正规子群。因此 $K \triangleleft H$ 且 $H \triangleleft A_{4}$ 但 $K \not \Delta A_{4}$。(对于 $D_{4}$ 也有类似的例子。)
练习 4.21. 设 $\mathbf{B}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & d\end{array}\right): a, d \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}\right\}$ 是练习 4.12 中定义的群，设 $\mathbf{U}$ 是子群 $\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right): b \in \mathbb{R}\right\}$。证明 $\mathbf{U} \cong \mathbb{R}$ 且 $\mathbf{U} \triangleleft \mathbf{B}$。使用基本同态定理来将商群 $\mathbf{B} / \mathbf{U}$ 与一个更熟悉的群进行识别。
练习 4.22. 设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是群，设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。
(i) 证明如果 $H_{2}$ 是 $G_{2}$ 的正规子群，那么 $f^{-1}\left(H_{2}\right)$ 是 $G_{1}$ 的正规子群。
(ii) 证明如果 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的正规子群，那么 $f\left(H_{1}\right)$ 不一定是 $G_{2}$ 的正规子群。
(iii) 证明如果 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的正规子群，且 $f$ 是满射，那么 $f\left(H_{1}\right)$ 是 $G_{2}$ 的正规子群。
练习 4.23. (i) 设 $G$ 是一个群，设 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群。设 $a \in G$。证明元素 $a H$ 在群 $G / H$ 中的阶等于最小的正整数 $n$ 使得 $a^{n} \in H$ (如果不存在这样的整数，则为无限大)。
(ii) 举一个群 $G$、一个 $G$ 的正规子群 $H$、以及一个 $a \in G$ 的例子，使得 $a$ 在 $G$ 中具有无限阶，但 $a H$ 具有有限阶。
(iii) 证明如果 $a$ 在 $G$ 中具有有限阶 $n$，那么 $a H$ 的阶是有限的并整除 $n$。$a H$ 的阶总是等于 $n$ 吗？
练习 4.24. 设 $G$ 是一个有限群，设 $f: G \rightarrow H$ 是一个满射同态。证明 $\#(\operatorname{Ker} f)=\#(G) / \#(H)$。
练习 4.25. 设 $G$ 是一个群，设 $H, K$ 是 $G$ 的两个子群。
(i) 如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \triangleleft G$，证明 $H \cap K \triangleleft G$。
(ii) 如果 $H \triangleleft G$，证明 $H \cap K \triangleleft K$。
(iii) 证明如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \leq G$，那么
是 $G$ 的一个包含 $H$ 和 $K$ 的子群，且 $H \triangleleft H K$。
练习 4.26. 设 $G$ 是一个群，设 $H, K$ 是 $G$ 的两个正规子群，使得 $H \cap K=\{1\}$。证明对于所有 $h \in H$ 和 $k \in K$，$h k=k h$，即 $H$ 和 $K$ 的任意两个元素分别相互可交换。(提示：考虑元素 $h k h^{-1} k^{-1}$。)
练习 4.27. 设 $G$ 是一个群，设 $H=\{1, g\}$ 是一个只有两个元素的 $G$ 的子群。证明 $H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $H \leq Z(G)$，其中 $Z(G)$ 表示 $G$ 的中心。
练习 4.28. 设 $G$ 是一个群，使得商群 $G / Z(G)$ 是循环群。证明 $G$ 是阿贝尔群 (因此 $Z(G)=G$)。(提示：设 $x Z(G)$ 是生成 $G / Z(G)$ 的陪集。证明 $G$ 的每个元素都可以写成 $x^{n} z$ 的形式，其中 $n \in \mathbb{Z}$ 且 $z \in Z(G)$。你对 $\left(x^{n_{1}} z_{1}\right)\left(x^{n_{2}} z_{2}\right)$ 可以说些什么？)
练习 4.29. 设 $G$ 是一个群且 $G \neq\{1\}$。证明 $G$ 是单纯群当且仅当对于每个群 $H$ 和同态 $f: G \rightarrow H$，要么 $f$ 是平凡的 (即 $\operatorname{Im} f=\{1\}$) 要么 $f$ 是内射的。
练习 4.30. 对于 $n \geq 5$，并利用 $A_{n}$ 对于 $n \geq 5$ 是单纯群的事实，证明 $S_{n}$ 的每个正规子群 $H$ 要么是 $S_{n}$，要么是 $A_{n}$，要么是 $\{1\}$。(提示：首先，通过练习 4.25 (ii) 证明 $H \cap A_{n}=A_{n}$ 或 $H \cap A_{n}=\{1\}$。如果 $H \cap A_{n}=A_{n}$，那么 $A_{n} \subseteq H$ 使得 $A_{n} \leq H \leq S_{n}$。证明 $\#(H)=n!/ 2$ 或 $\#(H)=n!$。如果 $H \cap A_{n}=\{1\}$，证明由符号同态给出的诱导同态 $\varepsilon: H \rightarrow\{ \pm 1\}$ 是内射的。得出结论 $\#(H) \leq 2$。如果 $\#(H)=2$，使用练习 4.27 得出结论 $H \leq Z\left(S_{n}\right)$，$S_{n}$ 的中心，然后使用练习 3.17 得到矛盾。)
练习 4.31. 一个同构 $f: G \rightarrow G$ 称为 $G$ 的自同构。
(i) 证明群 $G$ 的所有自同构集合 Aut $G$，即所有同构 $f: G \rightarrow G$ 的集合，是 $S_{G}$ 的一个子群。
(ii) 设 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 是一个自同构。证明 $f(1) \in(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$，即 $f(1)$ 是 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的一个生成元，并且同构 $f$ 由 $f(1)$ 指定。使用此，证明函数
由 $G(f)=f(1)$ 定义的是一个同构，因此 Aut $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \cong(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$。
练习 4.32. 假设 $G$ 是一个群，写成乘法形式。设 $g \in G$。定义函数 $i_{g}: G \rightarrow G$ 为：$i_{g}(x)=g x g^{-1}$。
(i) 证明 $i_{1}=\operatorname{Id}_{G}$ 且 $i_{g_{1}} \circ i_{g_{2}}=i_{g_{1} g_{2}}$。通过明确找到逆元，得出结论对于所有 $g \in G$，$i_{g}$ 是一个双射。
(ii) 证明对于给定的 $g \in G$，$i_{g}$ 是从 $G$ 到自身的同构，因此是一个自同构。(你必须证明对于所有 $x, y \in G$，$i_{g}(x y)=i_{g}(x) i_{g}(y)$。) 同构 $i_{g}$ 称为 $G$ 的内自同构。
(iii) 证明 $G$ 是一个阿贝尔群 $\Longleftrightarrow$ 对于所有 $g \in G$，$i_{g}=\operatorname{Id}_{G}$。
(iv) 假设 $G=S_{n}$ 且 $\sigma$ 是 $S_{n}$ 的一个元素。证明如果 $\rho \in S_{n}$ 是一个 $k$-循环，那么 $i_{\sigma}(\rho)$ 是一个 $k$-循环，并且如果 $\rho \in S_{n}$ 是 $r$ 个不相交的长度为 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的循环的乘积，那么 $i_{\sigma}(\rho)$ 是 $r$ 个不相交的长度为 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的循环的乘积。(使用：$i_{\sigma}\left(\gamma_{1} \cdots \gamma_{r}\right)= i_{\sigma}\left(\gamma_{1}\right) \cdots i_{\sigma}\left(\gamma_{r}\right)$。)
练习 4.33. 设 $G$ 和 $i_{g}$ 如练习 4.32 所述。
(i) 证明由
定义的函数 $F: G \rightarrow \text{Aut } G$ 是从 $G$ 到 Aut $G$ 的一个同态。根据定义，$F$ 的像是所有内自同构的子群。描述 $\operatorname{Ker} F$。
(ii) 证明 $\operatorname{Im} F$ 是 Aut $G$ 的一个正规子群。
练习 4.34. (i) 设 $f$ 是群 $S_{3}$ 的一个自同构。证明如果 $\tau=(i, j)$ 是 $S_{3}$ 中一个阶为 2 的元素，那么 $f(\tau)$ 也是。因此 $f$ 置换集合 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$，即它定义了从 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 到自身的双射。
(ii) 使用练习 4.13，证明如果 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 定义了从 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 到自身的相同双射，那么 $f_{1}=f_{2}$。
(iii) 证明对于 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 的每个置换 $P$，存在 $S_{3}$ 的一个元素 $\sigma$ 使得 $i_{\sigma}$ 诱导置换 $P$。通过 (ii) 得出结论 $S_{3}$ 的每个自同构都是内自同构，并且同态 $F: S_{3} \rightarrow \text{Aut } S_{3}$ 是一个同构。
(注意：可以证明对于每个 $n \geq 3$， $S_{n}$ 的每个自同构都是内自同构，并且同态 $F: S_{n} \rightarrow \text{Aut } S_{n}$ 是一个同构，除了 $n=6$。)
练习 4.35. 根据练习 4.7，如果 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 是一个同态，那么存在 $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ 使得 $f$ 的形式为 $f(n, m)=n(a, c)+m(b, d)=(a n+b m, c n+d m)$，其中 $f(1,0)=(a, c)$ 且 $f(0,1)=(b, d)$。因此 $f$ 对应于一个具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$，反之，每个这样的具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵都定义了一个同态 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。
(i) 使用一点线性代数，或直接地，证明 $\operatorname{Ker} f=\{(0,0)\}$ (即 $f$ 是内射的) $\Longleftrightarrow (a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量线性无关 $\Longleftrightarrow \operatorname{det} A \neq 0$，在这种情况下
是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个同构于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的子群。
(ii) 证明 $H=\operatorname{Im} f$ 等于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，即 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 生成群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，$\Longleftrightarrow \operatorname{det} A= \pm 1$。(提示：$H=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \Longleftrightarrow f$ 是满射 $\Longleftrightarrow f$ 是同构 $\Longleftrightarrow$ 存在一个逆同构 $g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，必然对应于一个具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵 $B$。证明在这种情况下，$A B=I$，因此，由于 $\operatorname{det} A$ 和 $\operatorname{det} B$ 是整数，所以 $\operatorname{det} A= \pm 1$。反之，如果 $\operatorname{det} A= \pm 1$，证明 $A$ 是可逆的且 $A^{-1}$ 具有整数系数，因此定义了一个同态 $g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，它是 $f$ 的逆。)
(注：(1) 可以证明 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的每个子群要么是循环的，因此等于 $\{(0,0)\}$ 或对于某个非零 $(a, b)$ 为 $\langle(a, b)\rangle$，因此 $\cong \mathbb{Z}$，要么是如上所示的 $H=\langle(a, c),(b, d)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的形式。(2) 上述表明 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ 是具有整数系数且行列式为 $\pm 1$ 的 $2 \times 2$ 矩阵群。 $S L_{2}(\mathbb{Z})$ 是具有整数系数且行列式为 1 的 $2 \times 2$ 矩阵的子群，是数论和复分析以及拓扑和数学物理中一个非常重要的群。它自然出现在椭圆函数和模形式的研究中。)
练习 4.36. 参考练习 4.8 和练习 4.35，假设 $H=\langle(a, c),(b, d)\rangle$ 是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个子群，其中 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量线性无关，并且假设 $a$ 和 $c$ 互质。如练习 4.35 中所述，定义
并设 $K=\langle(a, c)\rangle \leq H$。设 $A$ 是矩阵 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 且设 $N=\operatorname{det} A=a d-b c$；在必要时将 $(a, c)$ 替换为 $(-a,-c)$ 后，我们可以假设 $N>0$。证明 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H \cong \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ 如下：设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 由 $f(n, m)=-c n+a m$ 定义。根据练习 4.8，$f$ 是满射且核为 $H=\langle(a, c)\rangle$，因此 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / K \cong \mathbb{Z}$。接下来，证明 $K$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的像 $f(K)$ 是 $N \mathbb{Z}=\langle N\rangle$。最后应用第三同构定理证明
练习 4.37. 在练习 4.35 和练习 4.36 的符号中，假设 $\langle(a, c),(b, d)\rangle= H$ 是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个子群，其中 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量线性无关，但不
假设 $a$ 和 $c$ 互质，证明 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H$ 是有限的，并且 $\#((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H)= |\operatorname{det} A|$，其中 $A$ 仍然是矩阵 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$，方法如下：
(i) 设 $d=\operatorname{gcd}(a, c)$，使得 $a=d a_{0}$ 且 $c=d c_{0}$，其中 $\operatorname{gcd}\left(a_{0,0}\right)=1$。设 $A_{0}=\left(\begin{array}{ll}a_{0} & b \\ c_{0} & d\end{array}\right)$，使得 $\operatorname{det} A=d \operatorname{det} A_{0}$。如果
那么使用练习 4.36 证明 $\#(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H_{0})=\left|\operatorname{det} A_{0}\right|$。
(ii) 使用练习 4.35(i) 的同构，即 $H_{0} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，证明 $H$ 对应于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的子群 $\langle d\rangle \times \mathbb{Z}$，因此 $\#\left(H_{0} / H\right)=d$。
(iii) 最后应用第三同构定理证明
并使用 (i) 和 (ii) 得出结论 $\#((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H)=d\left|\operatorname{det} A_{0}\right|=|\operatorname{det} A|$。
1.1. 定义和例子。我们遇到的大多数群都与某些其他结构相关。例如，几何或物理中出现的群通常是几何对象的对称群 (如 $D_{n}$) 或空间的变换群 (如 $S O_{3}$)。这种关系的基础是群作用：
定义 1.1.1. 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一个集合。那么 $G$ 在 $X$ 上的作用是一个函数 $F: G \times X \rightarrow X$，我们写 $F(g, x)=g \cdot x$，满足：
(1) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$ 和 $x \in X$, $g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$。
(2) 对于所有 $x \in X$, $1 \cdot x=x$。
当作用 $F$ 被理解时，我们称 $X$ 是一个 $G$-集合。(正如我们将看到的，有些群 $G$ 和集合 $X$ 的例子，使得 $X$ 具有 $G$ 的不止一种有趣的作用，因此以不止一种方式成为 $G$-集合。)
请注意，群作用与二元结构不同。在二元结构中，我们将 $X$ 的两个元素组合起来得到 $X$ 的第三个元素 (我们组合两个苹果得到一个苹果)。在群作用中，我们将 $G$ 的一个元素与 $X$ 的一个元素组合起来得到 $X$ 的一个元素 (我们组合一个苹果和一个橙子得到另一个橙子)。
例子 1.1.2. (1) 平凡作用：对于所有 $g \in G$ 和 $x \in X$，$g \cdot x=x$。
(2) 群 $\mathbb{R}^{*}$ 通过标量乘法作用在向量空间 $\mathbb{R}^{n}$ 上：给定 $t \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$，令 $t \cdot \mathbf{v}=t \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 为标量乘法。这是一个作用，这从标量乘法的熟悉性质得出：$t_{1}\left(t_{2} \mathbf{v}\right)=\left(t_{1} t_{2}\right) \mathbf{v}$ 和 $1 \mathbf{v}=\mathbf{v}$，对于所有 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$。(当然，这些性质对于 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}$ 也成立，但 $\mathbb{R}$ 在乘法下不是一个群。此外，标量乘法还具有与标量或向量的加法有关的额外性质。)
(3) $G L_{n}(\mathbb{R})$ 通过通常的规则 $A \cdot \mathbf{v}=A \mathbf{v}$ 作用在 $\mathbb{R}^{n}$ 上，这是矩阵 $A$ 在向量 $\mathbf{v}$ 上的乘法，与 $F(\mathbf{v})$ 相同，其中 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是对应于 $A$ 的线性函数。类似地，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用在 $\mathbb{R}^{n}$ 上。注意 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 的一个子群，即从 $\mathbb{R}^{n}$ 到自身的所有双射群，并且 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用诱导的，通过将函数 $F$ 应用于向量 $\mathbf{v}$。同样，子群 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的作用诱导的。这是一般图景的一部分：如果群 $G$ 作用在集合 $X$ 上且 $H \leq G$，那么 $H$ 也通过限制作用在 $X$ 上。
此外，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用在半径为 1 的 $(n-1)$-球面 $S^{n-1}$ 上，定义为
注意 $S^{1}=U(1)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的单位圆， $S^{2}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的单位球面。半径为 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面定义类似，并且 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 也作用在半径为 $r$ 的 $(n-1)$-球面上。